Корень как сделать: Как написать корень на клавиатуре компьютера или ноутбука?

Содержание

Что такое квадратный корень? Формулы и Примеры

Вот несколько примеров извлечения корней, чтобы научиться пользоваться таблицей:

1. Извлеките квадратный корень:

Ищем в таблице число 289, двигаемся от него влево и вверх, чтобы определить цифры, образующие нужное нам число.

Влево — 1, вверх — 7.

Ответ: .

2. Извлеките квадратный корень:

Ищем в таблице число 3025.
Влево — 5, вверх — 5.

Ответ: .

3. Извлеките квадратный корень:

Ищем в таблице число 7396.

Влево — 8, вверх — 6.

Ответ: .

4. Извлеките корень:

Ищем в таблице число 9025.

Влево — 9, вверх — 5.

Ответ: .

5. Извлеките корень

Ищем в таблице число 1600.

Влево — 4, вверх — 0.

Ответ: .

Извлечением корня называется нахождение его значение.

Свойства арифметического квадратного корня

У арифметического квадратного корня есть 3 свойства — их нужно запомнить, чтобы проще решать примеры.

Корень произведения равен произведению корней
Извлечь корень из дроби — это извлечь корень из числителя и из знаменателя
Чтобы возвести корень в степень, нужно возвести в степень значение под корнем

Давайте потренируемся и порешаем примеры на все три операции с корнями. Не забывайте обращаться к таблице квадратов. Попробуйте решить примеры самостоятельно, а для проверки обращайтесь к ответам.

Умножение арифметических корней

Для умножения арифметических корней используйте формулу:

Примеры:

Ответ:
Ответ:

Внимательно посмотрите на второе выражение и запомните, как записываются такие примеры.

Если нет возможности извлечь корни из чисел, то поступаем так:

Ответ:
Ответ:
Если множителей больше двух, то решается примерно точно так, как и с двумя множителями:

Ответ:

Добрая напоминалочка

Чтобы решать примеры быстрее, не забывайте пользоваться таблицей квадратов.

Ответ:

Деление арифметических корней

Для деления арифметических корней используйте формулу:

Примеры:

Ответ: смешанную дробь превращаем в неправильную (16 * 3) + 1 = 49
Ответ:
Ответ:

Выполняя деление, не забывайте сокращать множители. При делении арифметических корней, используйте правила преобразования обыкновенных дробей.

Возведение арифметических корней в степень

Для возведения арифметического корня в степень используйте формулу:

Примеры:

Ответ: , т. к.
Ответ: , т.к. .

Эти две формулы нужно запомнить:

Ответ:
Ответ:

Повторите свойства степеней или запишитесь на курсы по математике, чтобы без труда решать такие примеры.

Внесение множителя под знак корня

Вы уже умеете по-всякому крутить и вертеть квадратными корнями: умножать, делить, возводить в степень. Богатый арсенал, не правда ли? Осталось овладеть еще парой приемов и можно без страха браться за любую задачку.

А теперь давайте разберемся, как вносить множитель под знак корня.

Дано выражение:

Число семь умножено на квадратный корень из числа девять.

Извлечем квадратный корень и умножим его на 7.

В данном выражение число 7 — множитель. Давайте внесем его под знак корня.

Запомните, что вносить множитель под знак корня обязательно нужно так, чтобы значение исходного выражения осталось неизменным. Иными словами, после наших манипуляций с корнем, значение выражения должно по-прежнему оставаться 21.

Вы помните, что

Тогда число 7 должно быть возведено во вторую степень. В этом случае значение выражения останется тем же.

Формула внесения множителя под знак корня:

Запоминаем:

Нельзя вносить отрицательные числа под знак корня.

Потренируемся вносить множители. Попробуйте решить примеры самостоятельно, сверяясь с ответами.

Ответ:

Ответ:

Ответ:

Вынесение множителя из-под знака корня

С тем, как вносить множитель под корень мы, кажется, разобрались. Но алгебра — такая алгебра, поэтому теперь неплохо бы и вынести множитель из-под знака корня.

Дано выражение в виде квадратного корня из произведения.

Вы уже наверняка без труда извлекаете квадратный корень из чего угодно, поэтому знаете, что делать.

Извлекаем корень из всех имеющихся множителей.

В данном выражении квадратный корень мы можем извлечь только из 4, поэтому:

Таким образом множитель выносится из-под знака корня.

Давайте разберем примеры. Попробуйте вынести множители из-под знака корня самостоятельно, сверяясь с ответами.

Раскладываем подкоренное выражение на множители 28 = 7*4.

Извлекаем корень из 4. Множитель 7 оставляем под знаком корня.

Ответ:
Ответ: по правилу извлечения квадратного корня из произведения,

.

Так как вынесенный множитель должен стоять перед подкоренным знаком, то меняем их местами.

.
Вынесите множитель из-под знака корня в выражении:

Ответ: Раскладываем выражение под корнем на множители 24 = 6 * 4.
Упростите выражение: .

Представим в виде

Представим в виде

Тогда

Вынесем в двух последних выражения множитель из-под знака корня.

Умножаем . Все остальное выражение записываем в неизменном виде.

Мы видим, что во всем выражении есть один общий множитель — .

Выносим общий множитель за скобки:

Далее вычисляем все, что в скобках:

Сравнение квадратных корней

Мы почти досконально разобрали арифметический квадратный корень, научились умножать, делить и возводить его в степень. Теперь вы без труда можете вносить множители под знак корня и выносить их оттуда. Осталось научиться сравнивать корни и стать непобедимым теоретиком.

Итак, чтобы понять, как сравнить два квадратных корня, нужно запомнить пару правил.

Если:

, то
, то

Давайте разберем на примере.

Сравните два выражения: и

Первым делом преобразуем второе выражение: .

Это значит, что .

Запоминаем

Чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень.

Потренируйтесь в сравнении корней. Сверяете свои результаты с ответами.

Сравните два выражения: и

Ответ: преобразовываем выражение .

Это значит, что .
Сравните два выражения: и

Ответ: преобразовываем выражение .

Это значит, что .
Сравните два выражения: и

Ответ: преобразовываем выражение .

Это значит, что .

Как видите, ничего сложного в сравнении арифметических квадратных корней нет.

Самое главное — выучить формулы и сверяться с таблицей квадратов, если значения корня слишком большие для легкого вычисления в уме.

Не бойтесь пользоваться вспомогательными материалами. Математика просто создана для того, чтобы окружить себя подсказками и намеками.

Когда вы почувствуете, что уже достаточно натренировались в решении примеров с квадратными корнями, можете позволить себе время от времени прибегать к помощи онлайн-калькуляторов. Они помогут решать примеры быстрее и быть эффективнее.

Таких калькуляторов в интернете много, вот один из них.

Извлечение квадратного корня из большого числа

Вы уже наверняка познакомились и подружились с таблицей квадратов. Она — ваша правая рука. С ее помощью вы реактивно решаете примеры и, возможно, даже подумываете запомнить ее наизусть.

Но, как вы можете заметить, таблица заканчивается на числе 9801. А это, согласитесь, не самое крупное число из тех, что могут вам попасться в примере.

Чтобы извлечь корень из большого числа, которое отсутствует в таблице квадратов, нужно:

Определить «сотни», между которыми оно стоит.
Определить «десятки», между которыми оно стоит.
Определить последнюю цифру в этом числе.

Извлечь корень из большого числа можно разными способами — вот один из них.

Извлечем корень из .

Наша задача в том, чтобы определить между какими десятками стоит число 2116.

10²= 100

20²= 400

30²= 900

40²= 1600

50²= 2500

Мы видим что, 2116 больше 1600, но меньше 2500.

Это значит, что число 2116 находится между 40²и 50².

41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49.

Запомните лайфхак по вычислению всего на свете, что нужно возвести в квадрат.

Не секрет, что на последнем месте в любом числе может стоять только одна цифра от 1 до 0.

Как пользоваться таблицей

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16 ⇒ 6

5² = 25 ⇒ 5

6² = 36 ⇒ 6

7² = 49 ⇒ 9

8² = 64 ⇒ 4

9² = 81 ⇒ 1

Мы знаем, что число 41, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — цифра 1.

Число, 42, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — цифра 4.

Число 43, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — 9.

Такая закономерность позволяет нам без записи «перебрать» все возможные варианты, исключая те, которые не дают нужную нам цифру 6 на конце.

Таким образом, у нас остаются два варианта: 44² и 46².

Далее вычисляем: 44 * 44 = 1936.

46 * 46 = 2116.

Ответ:

Если такой способ показался не до конца понятным — можно потратить чуть больше времени и разложить число на множители. Если решить все правильно, получим такой же результат.

Еще пример. Извлечем корень из числа

Разложим число 11664 на множители:

11664 : 4 = 2916

2916 : 4 = 729

729 : 3 = 243

243 : 3 = 81

11664	4
2916	4
729	3
243	3
81	81

Запишем выражение в следующем виде:

Ответ:

Извлечь квадратный корень из большого числа гораздо проще с помощью калькулятора. Но знать парочку таких способов «на экстренный случай» точно не повредит. Например, для контрольной или ЕГЭ.

Чтобы закрепить все теоретические знания, давайте ещё немного поупражняемся в решении примеров на арифметические квадратные корни.

1. Вычислите значение квадратного корня:

Как решаем:

Ответ: 6.
2. Вычислите значение квадратного корня:

Как решаем:

Ответ: .
3. Вычислите значение квадратного корня:

Как решаем:

Ответ: .
4. Вычислите значение квадратного корня:

Как решаем:

Ответ: .
5. Вычислите значение квадратного корня:

Как решаем:

Ответ: .
6. Вычислите значение выражения:

Как решаем:

Ответ: .
7. Вычислите значение выражения:

Как решаем:

Ответ: .
8. Вычислите значение выражения:

Как решаем:

Ответ: .
9. Вычислите значение квадратного корня:

Как решаем:

Ответ:
10. Вычислите значение квадратного уравнения:

Как решаем:

Ответ: .
11. Вычислите значение квадратного уравнения:

Как решаем:

Ответ: .
12. Извлеките квадратный корень из числа удобным вам способом

Как решаем:

7056

4

1764

4

441

3

147

3

49

7

7

7

1

Ответ:
13. Вычислите значение квадратного корня

Ответ:
14. Вычислите значение квадратного корня:

Как решаем:
15. Вычислите значение выражения:

Как решаем:

Ответ: .
16. Вычислите значение выражения:

Как решаем:

Ответ: .
17. Вычислите значение выражения:

Как решаем:
18. Вычислите значение выражения:

Как решаем:

Ответ: .
19. Вычислите значение выражения:

Как решаем:

Ответ: .
20. Вычислите значение выражения:

Как решаем:

Ответ: .
21. Вынесите множитель из-под знака корень:

Как решаем:

Ответ: .
22. Вынесите множитель из-под знака корень:

Как решаем:

Ответ: .
23. Внесите множитель под знак корня:

Как решаем:

Ответ: .
24. Внесите множитель под знак корня:

Как решаем:

Ответ: .
25. Внесите множитель под знак корня:

Как решаем:

Ответ: .
26. Упростите выражение:

Как решаем:

Ответ: .
27. Вычислите значение выражения:

Как решаем:

Ответ: .
28. Вычислите значение квадратного корня:

Как решаем:

Ответ: .
29. Вычислите значение квадратного корня:

Как решаем:

Ответ: .
30. Найдите значение выражения:

Как решаем:

Ответ: .

Корень (кубический, квадратный) в степени: решения, таблицы, примеры

Оглавление:

org/ListItem»>
Степень с натуральным показателем
Степень с целым показателем
Кубический корень
Корень -ной степени
Сравнение арифметических корней
Как избавиться от иррациональности в знаменателе
Как упрощать иррациональные выражения, пользуясь формулами сокращенного умножения

Степенью называется выражение вида .

Здесь — основание степени, — показатель степени.

к оглавлению ▴

Степень с натуральным показателем

Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.

По определению, .

Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.

Возвести число в натуральную степень — значит умножить его само на себя раз:

к оглавлению ▴

Степень с целым показателем

Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.

По определению,

Это верно для . Выражение 0⁰ не определено.

Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.

Конечно, все это верно для , поскольку на ноль делить нельзя.

Например,

Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.

Показатель степени может быть не только целым, но и дробным, то есть рациональным числом. В статье «Числовые множества» мы говорили, что такое рациональные числа. Это числа, которые можно записать в виде дроби , где — целое, — натуральное.

Здесь нам понадобится новое понятие — корень -степени. Корни и степени — две взаимосвязанные темы. Начнем с уже знакомого вам арифметического квадратного корня.

Определение.

Арифметический квадратный корень из числа — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

Согласно определению,

В школьной математике мы извлекаем корень только из неотрицательных чисел. Выражение для нас сейчас имеет смысл только при .

Выражение всегда неотрицательно, т.е. . Например, .

Свойства арифметического квадратного корня:

Запомним важное правило:

По определению, .

к оглавлению ▴

Кубический корень

Аналогично, кубический корень из — это такое число, которое при возведении в третью степень дает число .

Например, , так как ;

, так как ;

, так как .

Обратите внимание, что корень третьей степени можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Теперь мы можем дать определение корня -ной степени для любого целого .

к оглавлению ▴

Корень -ной степени

Корень -ной степени из числа — это такое число, при возведении которого в -ную степень получается число .

Например,

Заметим, что корень третьей, пятой, девятой — словом, любой нечетной степени, — можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Квадратный корень, а также корень четвертой, десятой, в общем, любой четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел.

Итак, — такое число, что . Оказывается, корни можно записывать в виде степеней с рациональным показателем. Это удобно.

По определению,

в общем случае .

Сразу договоримся, что основание степени больше 0.

Например,

Выражение по определению равно .

При этом также выполняется условие, что больше 0.

Например,

Запомним правила действий со степенями:

— при перемножении степеней показатели складываются;

— при делении степени на степень показатели вычитаются;

— при возведении степени в степень показатели перемножаются;

Покажем, как применяются эти формулы в заданиях ЕГЭ по математике:

Внесли все под общий корень, разложили на множители, сократили дробь и извлекли корень.

Здесь мы записали корни в виде степеней и использовали формулы действий со степенями.
4. Найдите значение выражения при

Решение:

При получим

Ответ: -0,5.

5. Найдите значение выражения при

Решение:

При a = 12 получим

Мы воспользовались свойствами степеней.

Ответ: 144.

6. Найдите значение выражения при b = — 5.

Решение:

При b = — 5 получим:

Ответ: -125.

7. Расположите в порядке возрастания:

Решение:

Запишем выражения как степени с положительным показателем и сравним.

Так как то

Сравним и для этого оценим их разность:

значит

Получим : поэтому

Ответ:

8. Представьте выражение в виде степени:

Решение:

Вынесем за скобку степень с меньшим показателем:

Ответ:

9. Упростите выражение:

Решение:

Приведем основания 6 и 12 к основаниям 2 и 3:

(выполним деление степеней с одинаковыми основаниями)

Ответ: 0,25.

10. Чему равно значение выражения при ?

Решение:

При получим

Ответ: 9.

к оглавлению ▴

Сравнение арифметических корней

11. Какое из чисел больше: или ?

Решение:

Возведем в квадрат оба числа (числа положительные):

Найдем разность полученных результатов:

так как

Значит, первое число больше второго.

Ответ:

к оглавлению ▴

Как избавиться от иррациональности в знаменателе

Если дана дробь вида то нужно умножить числитель и знаменатель дроби на :

Тогда знаменатель станет рациональным.

Если дана дробь вида или то нужно умножить числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение, чтобы получить в знаменателе разность квадратов.

Сопряженные выражения — это выражения, отличающиеся только знаками. Например,

и и — сопряженные выражения.

Пример:

12. Вот несколько примеров — как избавиться от иррациональности в знаменателе:

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

Совет. Если в знаменателе дана сумма двух корней, то в разности первым числом пишите то, которое больше, и тогда разность квадратов корней будет положительным числом.

Пример 5.

13. Сравните и

2) Сравним и 14.

то и а значит,

Ответ: меньше.

к оглавлению ▴

Как упрощать иррациональные выражения, пользуясь формулами сокращенного умножения

Покажем несколько примеров.

14. Упростите: выражения:

Пример 5.

т.к.

Пример 6.

Пример 7.

так как

Следующие несколько задач решаются с помощью формулы:

Решение:

Получим уравнение

Ответ:

19. Вычислите значение выражения:

Решение:

Ответ: 1.

20. Вычислите значение выражения:

Решение:

Ответ: 1.

21. Вычислите значение выражения: если

Решение.

Если то следовательно

Ответ: — 1.

22. Вычислите:

Решение:

Ответ: 1.

Рассмотрим уравнение вида где

Это равенство выполняется, только если

Подробно об таких уравнениях — в статье «Показательные уравнения».

При решении уравнений такого вида мы пользуемся монотонностью показательной функции.

23. Решите уравнение:

а)

б)

в)

Решение.

23. Решите уравнение:

Решение:

тогда

Ответ: -1.

24. Решите уравнение:

Решение:

Ответ: 4.

25. Решите уравнение:

Решение:

Значит,

Ответ: -0,2.

Если вы хотите разобрать большее количество примеров — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Корни и степени» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
05.01.2023

Квадраты и квадратные корни

Сначала узнайте о квадратах, затем получите квадратные корни.

Как возвести число в квадрат

Чтобы возвести число в квадрат: умножьте его само на себя .

Пример: Сколько будет 3 в квадрате?

3 В квадрате

= 3 × 3 = 9

«Квадрат» часто пишется как маленькая двойка, вот так:

Здесь написано «4 в квадрате равно 16»
(маленькая двойка говорит
число появляется дважды при умножении)

Квадраты От 0

² до 6 ²

0 В квадрате	=	0 ²	=	0 × 0	=	0
1 В квадрате	=	1 ²	=	1 × 1	=	1
2 В квадрате	=	2 ²	=	2 × 2	=	4
3 В квадрате	=	3 ²	=	3 × 3	=	9
4 В квадрате	=	4 ²	=	4 × 4	=	16
5 В квадрате	=	5 ²	=	5 × 5	=	25
6 Квадрат	=	6 ²	=	6 × 6	=	36

Квадраты также
в таблице умножения:

Отрицательные числа

Мы также можем возвести в квадрат отрицательных чисел .

Пример. Что произойдет, если возвести в квадрат (−5) ?

Ответ:

(−5) × (−5) = 25

(поскольку отрицательное число, умноженное на отрицательное, дает положительное значение)

Было интересно!

Когда мы возводим в квадрат отрицательное число , мы получаем положительный результат .

Точно так же, как возведение в квадрат положительного числа:

(Подробнее читайте Квадраты и квадратные корни в алгебре)

Квадратные корни

квадратный корень из идет в другую сторону:

3 в квадрате равно 9, поэтому квадратный корень из
из 9 это 3

Квадратный корень из числа равен …

… значение, которое может быть , умноженным само на , чтобы получить исходное число.

Квадратный корень из 9 равен …

… 3 , потому что при умножении 3 на получаем 9 .

Это все равно, что спросить:

Что мы можем умножить само на себя, чтобы получить это?

Чтобы помочь вам вспомнить , подумайте о корне дерева:

«Я знаю дерево , но какой корень его создал? »

В данном случае дерево «9», а корень «3».

Вот еще квадраты и квадратные корни:


4		16
5		25
6		36
7		49

Десятичные числа

Это также работает для десятичных чисел.

Попробуйте ползунки ниже (примечание: «…» означает, что десятичные дроби продолжаются бесконечно):

Использование ползунков:

Чему равен квадратный корень из 8 ?
Чему равен квадратный корень из 9 ?
Чему равен квадратный корень из 10 ?
Что такое 1 в квадрате?
Что такое 1,1 в квадрате?
Что такое 2,6 в квадрате?

Негативы

Ранее мы обнаружили, что можем возводить в квадрат отрицательные числа:

Пример: (−3) в квадрате

(−3) × (−3) = 9

И, конечно же, 3 × 3 = 9 .

Таким образом, квадратный корень из 9 может быть −3 или +3

Пример: Каковы квадратные корни из 25?

(−5) × (−5) = 25

5 × 5 = 25

Таким образом, квадратные корни из 25 равны −5 и +5

Символ квадратного корня

Это специальный символ, означающий «квадратный корень».

это вроде как галочка,
и на самом деле началась сотни лет
назад в виде точки с движением вверх.

Он называется радикальным , и всегда делает математику важной!

Мы используем его так:

и мы говорим «квадратный корень из 9 равен 3»

Пример: Что такое √25?

25 = 5 × 5, другими словами, когда мы умножаем
5 отдельно (5 × 5) получаем 25

Итак, ответ:

√25 = 5

Но подождите! Разве квадратный корень из не может также равняться −5 ? Потому что (−5) × (−5) = 25 тоже.

Квадратный корень из 25 может быть равен −5 или +5.
Но когда мы используем радикальный символ √ , мы даем только положительный (или нулевой) результат .

Пример: Что такое √36 ?

Ответ: 6 × 6 = 36, поэтому √36 = 6

Идеальные квадраты

Совершенные квадраты (также называемые «квадратными числами») — это квадраты целых чисел:

	Совершенный Квадраты
0	0
1	1
2	4
3	9
4	16
5	25
6	36
7	49
8	64
9	81
10	100
11	121
12	144
13	169
14	196
15	225
	и т. д…

Постарайтесь запомнить их до 12.

Вычисление квадратных корней

Легко извлечь квадратный корень из полного квадрата, но
действительно сложно из вывести другие квадратные корни.

Пример: что такое √10?

Итак, 3 × 3 = 9 и 4 × 4 = 16, поэтому мы можем предположить, что ответ находится между 3 и 4.

Давайте попробуем 3,5: 3,5 × 3,5 = 12,25
Попробуем 3,2: 3,2 × 3,2 = 10,24
Попробуем 3,1: 3,1 × 3,1 = 9,61
…

Приближаемся к 10, но для получения хорошего ответа потребуется много времени!

В этот момент я достаю свой калькулятор, и он показывает:

3.1622776601683793319988935444327

Но цифры продолжаются и продолжаются без какой-либо закономерности.

Так даже
ответ калькулятора только приближение !

Примечание: такие числа называются иррациональными числами, если вы хотите узнать больше.

Самый простой способ вычисления квадратного корня

Используйте кнопку квадратного корня вашего калькулятора!

А также используйте свой здравый смысл, чтобы убедиться, что у вас есть правильный ответ.

Увлекательный способ вычисления квадратного корня

Существует забавный метод вычисления квадратного корня, который с каждым разом становится все более и более точным:

а) начните с предположения (допустим, 4 — это квадратный корень из 10)

b) разделить на предположение (10/4 = 2,5)
c) добавить это к предположению (4 + 2,5 = 6,5)
d) затем разделить результат на 2, другими словами разделить его пополам. (6,5/2 = 3,25)
e) теперь установите это как новое предположение и снова начните с b)

Наша первая попытка увеличила число с 4 до 3,25
Повторный переход ( b to e ) дает нам: 3,163
Повторный переход ( b to e ) дает нам: 3,1623

Таким образом, после 3-х раз ответ 3,1623, что очень хорошо, потому что:

3,1623 х 3,1623 = 10,00014

Теперь. .. почему бы вам не попробовать вычислить квадратный корень из 2 таким образом?

Как угадать

Что, если нам нужно угадать квадратный корень из такого сложного числа, как «82,163»… ?

В этом случае мы могли бы подумать, что «82 163» состоит из 5 цифр, поэтому квадратный корень может состоять из 3 цифр (100×100=10 000), а квадратный корень из 8 (первая цифра) равен примерно 3 (3×3=9).), так что 300 — хорошее начало.

День квадратного корня

4 апреля 2016 года — День квадратного корня, потому что дата выглядит так: 4/4/16

Следующим после этого является 5 мая 2025 года (5/5/25)

309 310 315, 1082, 1083, 2040, 3156, 2041, 2042, 3154

Что такое корни в математике? (Вопросы по видео и практике)

TranscriptFAQsPractice

Привет и добро пожаловать в это видео о корнях! Сегодня мы будем работать над пониманием терминологии, обозначений и интерпретации алгебраических корней. Мы также установим связи с другими понятиями, которые вам понадобятся в математике более высокого уровня. Давайте начнем!

Понимание терминологии и математических обозначений — это полдела, если вы изо всех сил пытаетесь понять определенные понятия. Это верно для корней, где используемая терминология определяет «тип» оцениваемого корня.

Чтобы найти квадратный корень из числа , просто спросите себя: «Какое значение, когда умножается на само по себе, дает это число?»

Например, вас попросили найти квадратный корень из 4. Спросите себя: «Какое значение при умножении само на себя дает 4?» Ответ 2, потому что 2 умножить на 2 равно 4.

Попробуем еще. Чему равен квадратный корень из 121? Спросите себя: «Какое значение при умножении само на себя дает 121?» Ответ — 11, потому что 11 умножить на 11 равно 121.

Чтобы найти кубический корень из числа, спросите себя: «Какое значение при умножении на само себя три раза по дает это число?»

Например, кубический корень из 8 будет равен 2, потому что 2 умножить на себя трижды равно 8. Кубический корень из 64 равен 4, потому что 4 умножить на себя трижды равно 8. Четыре раза по четыре равно 16, 16 умножить на 4 равно 64.

\(2 \cdot 2 \cdot 2=8\)
\(4 \cdot 4=16\)
\(16 \cdot4=64\)

Корни четвертой степени, корни пятой степени, корни шестой , и так далее, можно найти аналогично.

В этих практических задачах обнаруживается важная взаимосвязь. Мы только что показали, что 2 — это квадратный корень из 4. Это означает, что число 4 — полный квадрат. Знание полных квадратов от 1 до 144 полезно для упрощения радикалов в будущем. В приведенной здесь таблице показаны эти идеальные квадраты по отношению к их квадратным корням. 93=1000\)

Как видно из приведенной выше таблицы, совершенные кубы быстро увеличиваются!

Чтобы обобщить правило нахождения корней, введем обозначение радикалов . Давайте разобьем эту запись на «части», взглянув на кубический корень из 27, который выглядит так: \(\sqrt[3]{27}\).

Радикал может напоминать символ деления, но имеет совсем другое значение. То, что находится под подкоренным символом, называется подкоренным числом и 9.0787 , и это может быть число или алгебраическое выражение. В этом видео мы будем придерживаться цифр.

Индекс является наиболее важной функцией. Это маленькое число, помещенное в «галочку» подкоренного символа, указывает на корень. В этом примере, поскольку индекс равен 3, они запрашивают кубический корень из 27. Немного подумав, мы можем определить, что 3 умножить на 3 умножить на 3 равно 27, поэтому кубический корень из 27 равен 3, что означает, что 27 является совершенным кубом.

Важно отметить, что символ квадратного корня не показывает индекс 2. Так что просто помните, что когда индекс НЕ указан, радикал по умолчанию представляет собой квадратный корень. 9{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{125}\)

После преобразования в радикал проблема становится более знакомой, и корень легче вычислить: куб корень из 125 равен 5.

Надеюсь, этот обзор был полезен! Спасибо за просмотр и удачной учебы!

Часто задаваемые вопросы

Q

Что такое корень в математике?

A

Корень числа в математике — это число, которое при умножении само на себя дает исходное число. Например, квадратный корень из \(49\) равно \(7\), потому что \(7\times7=49\). В этом случае, поскольку \(7\) дважды умножается на себя, чтобы получить \(49\), мы называем \(7\) квадратным корнем из из \(49\). Кубический корень из \(27\) равен \(3\), потому что \(3\times3\times3=27\). Поскольку \(3\) умножается три раза, чтобы получить \(27\), мы называем это кубическим корнем, поэтому \(3\) — это кубический корень из \(27\).

Q

Как найти корни в математике?

A

Чтобы найти корень числа в математике, мы начинаем с нахождения множителей этого числа. Например, коэффициенты \(64\) равны \(2\times2\times2\times2\times2\times2\). Если мы посмотрим повнимательнее, то увидим, что множители также можно записать как \(8\times8\):

Итак, мы знаем, что квадратный корень из \(64\) равен \(8\), потому что \(8\times8=64\). Поскольку \(8\) умножается на , умноженное на , мы называем это квадратным корнем из \(64\).

Мы также можем объединить множители в три группы:
Это означает, что \(4\times4\times4\) равно \(64\). Поскольку \(4\) трижды умножается на себя, чтобы получить \(64\), мы знаем, что \(4\) является кубическим корнем из \(64\).

Q

Что означает \(\sqrt{ }\) в математике?

A

Это символ, представляющий квадратный корень. Квадратный корень из числа — это число, которое при умножении само на себя дает исходное число. Например, квадратный корень из \(16\) или \(\sqrt{16}\) равен \(4\), потому что \(4\times4=16\).

Q

Как проще всего найти кубические корни?

A

кубический корень числа — это число, которое умножается само на себя \(3\) раз, чтобы получить исходное число. Самый простой способ найти кубический корень числа — начать с поиска множителей и посмотреть, есть ли в множителе \(3\) числа, которые совпадают. Например, чтобы найти кубический корень из \(125\), мы начнем с поиска множителей, которые равны \(5\times5\times5\). Поскольку \(5\) трижды умножается на себя, чтобы получить \(125\), мы можем сказать, что \(5\) является кубическим корнем из \(125\).

Q

Что такое радикал в математике?

A

Радикал в математике — это символ \(\sqrt{ }\), который используется для обозначения корня. Если индекса (числа в «плече» корня) нет, то он считается квадратным корнем. Чтобы представить выражение «квадратный корень из \(36\)», мы помещаем \(36\) под радикалом следующим образом: \(\sqrt{36}\). Квадратный корень — это число, которое при умножении само на себя дает исходное число под радикалом. Следовательно, квадратный корень из \(36\) равен \(6\), потому что \(6\times6=36\). Это также можно записать как \(\sqrt{36}=6\).

Q

Как решить радикал?

A

Чтобы решить радикал, который представляет собой квадратный корень, мы начинаем с нахождения множителей числа, которое находится под радикалом. Например, чтобы решить \(\sqrt{49}\), мы находим множители \(49\), которые равны \(7\times7\). Поскольку \(7\) дважды умножается на себя, мы можем заключить, что \(7\) является квадратным корнем из \(49\). Следовательно, \(\sqrt{49}=7\).

Q

Что такое радикальное упрощение?

A

Чтобы упростить радикал, вы должны найти квадратный корень числа до тех пор, пока ничто под радикалом не будет иметь корней. Например, мы можем упростить радикал \(\sqrt{18}\), найдя множители \(18\), которые равны \(3\times3\times2\). Поскольку \(3\) умножается дважды само на себя, мы можем вытащить этот корень, и \(3\) будет стоять перед корнем, а \(2\) останется под корнем. \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), что является наиболее упрощенной формой выражения, поскольку нельзя упростить \(\sqrt{2}\).

Q

Что является примером радикального числа?

A

A Радикал — это символ, представляющий квадратный корень. Число под радикалом называется подкоренным числом и . Например, выражение «квадратный корень из 81» представлено в математике радикальным символом с \(81\) под радикалом. \(\sqrt{81}=9\), потому что \(9\times9=81\). Символ — радикал, \(81\) — подкоренное число, а \(9\) — корень.

Q

Что такое подкоренное значение квадратного корня?

A

Подкоренное число и — это число под радикалом, для которого мы пытаемся найти корень. Например, «квадратный корень из \(100\)» можно записать как \(\sqrt{100}\). Число под знаком, называемое подкоренным, называется подкоренным. В этом случае \(100\) является подкоренным числом.

Q

Что такое индекс и радикал?

А

индекс — это корень, который мы пытаемся найти, а подкоренное число и — это число под радикалом.

Например, \(\sqrt{25}\) — это квадратный корень из \(25\). Существует воображаемое \(2\), которое мы не пишем, что говорит нам о том, что мы должны брать квадратный корень из числа. В этом случае \(2\) — индекс, а \(25\) — подкоренное число. Выражение \(\sqrt[3]{64}\) представляет собой кубический корень из \(64\). \(3\) — это индекс, \(64\) — подкоренное число, а символ квадратного корня называется радикалом.

Индекс говорит нам, какой корень подкоренного числа мы должны найти. В случае квадратного корня из \(25\) мы находим число, которое дважды умножается само на себя, чтобы получить \(25\). В кубическом корне из \(64\) мы ищем число, которое трижды умножается само на себя, чтобы получить \(64\).

Q

В чем разница между радикалом и радикалом?

A

Радикал — это символ, представляющий квадратный корень. radic и — это число, которое находится под радикалом, корень которого мы пытаемся найти. Например, в выражении \(\sqrt{50}\) символ является подкоренным, а \(50\), который находится под радикальным символом, называется подкоренным символом.

Q

Что является примером подкоренного числа?

A

A подкоренное число и число под радикалом. В выражении квадратный корень из \(36\), который также можно записать с помощью математических символов как \(\sqrt{36}\), \(36\) является подкоренным, потому что он находится под радикалом, который является символом квадратного корня. 97} \) Поскольку не предполагается, что индекс не представляется 2.

HIDE Ответ

Вопрос № 3:

\ (\ SQRT {256} = \)

16

15

14 0003

16

13

Показать ответ

Ответ:

Правильный ответ: 16. Чтобы найти квадратный корень из 256, спросите, какое число умножить на 256.

7056	4
1764	4
441	3
147	3
49	7
7	7
1